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如图,已知正四面体ABCD的棱长为3cm.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)已知点E是CD的中点,点P在△ABC的内部及边界上运动,且满足EP∥平面ABD,试求点P的轨迹;
(3)有一个小虫从点A开始按以下规则前进:在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一,并且沿着这条棱爬到尽头,当它爬了12cm之后,求恰好回到A点的概率.
分析:(1)取BC中点M,连AM、DM,由△ABC及△BCD均为正三角形,可得BC⊥AM,BC⊥DM;进而可得BC⊥平面ADM,由线面垂直的性质可得证明;
(2)取BC中点M,连接EM,并取AC的中点Q,连QE,QM,根据线面平行的判定定理可得:EQ∥平面ABD,MQ∥平面ABD,再结合面面平行的判定定理得到:平面QEM∥平面ABD,进而得到点P的轨迹为线段QM.
(2)由题意可得:小虫共走过了4条棱,并且得到基本事件总数为81,再分别讨论当小虫走第1条棱时,第2条棱,第3条棱的所有走法,即可得到小虫走12cm后仍回到A点的所有走法为21种,进而根据等可能事件的概率公式求出答案.
解答:解:(1)证明:取BC中点M,连AM、DM,
因△ABC及△BCD均为正三角形,故BC⊥AM,BC⊥DM.
因AM,DM为平面ADM内的两条相交直线,
故BC⊥平面ADM,于是BC⊥AD.
(2)连接EM,并取AC的中点Q,连QE,QM.于是EQ∥AD,故EQ∥平面ABD.
同理MQ∥平面ABD.
因EQ,MQ为平面QEM内的两条相交直线,
故平面QEM∥平面ABD,从而点P的轨迹为线段QM.       
(3)依题设小虫共走过了4条棱,每次走某条棱均有3种选择,
故所有等可能基本事件总数为34=81.                                
走第1条棱时,有3种选择,不妨设走了AB,然后走第2条棱为:或BA或BC或BD.
若第2条棱走的为BA,则第3条棱可以选择走AB,AC,AD,计3种可能;
若第2条棱走的为BC,则第3条棱可以选择走CB,CD,计2种可能;
同理第2条棱走BD时,第3棱的走法亦有2种选择.                     
故小虫走12cm后仍回到A点的选择有3×(3+2+2)=21种可能.
于是,所求的概率为
21
81
=
7
27
点评:本题考查等可能事件的概率、线线垂直、线面平行的性质与判定,是一道综合题;解题时要注意结合三棱锥的几何结构特征,进行概率计算.
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