Question

甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，且比例系数为0.02；固定部分为200元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？全程运输成本最小是多少？

Answer 1

分析：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

300

v

，全程运输成本为y=200×

300

v

+0.02v2×

300

v

=6(

10000

v

+v)
（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．

解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

300

v

，全程运输成本为y=200×

300

v

+0.02v2×

300

v

=6(

10000

v

+v)…3分
故所求函数及其定义域为y=6(

10000

v

+v)，v∈（0，c]…4分
（2）依题意，有

10000

v

+v≥200．
当且仅当

10000

v

=v，即v=100时上式中等号成立．
而v∈（0，c]，所以
当v=100∈（0，c]，c≥100时，

10000

v

+v取最小值
所以ymin=6(

10000

v

+v)≥1200
也即当v=100时，全程运输成本y最小达到1200元．…8分
当v=100∉（0，c]，即c＜100时，
取v=c，y=6(

10000

v

+v)达到最小值，即ymin=6(

10000

c

+c)
也即当v=c时，全程运输成本y最小达到6(

10000

c

+c)元．（…12分）
综上知，为使全程运输成本y最小，当c≥100时行驶速度应为100，此时运输成本为1200元；当c＜100时行驶速度应为v=c，此时运输成本为6(

10000

c

+c)．…12分．

点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．