Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．
（Ⅰ）求证：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求证：A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）求三棱锥A₁-DBC₁的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：依题意：B₁D₁∥BD，且B₁D₁在平面BC₁D外．（2分）
∴B₁D₁∥平面BC₁D（3分）
（Ⅱ）证明：连接OC₁
∵BD⊥AC，AA₁⊥BD
∴BD⊥平面ACC₁A₁（4分）
又∵O在AC上，∴A₁O在平面ACC₁A₁上
∴A₁O⊥BD（5分）
∵AB=BC=2∴AC=A1C1=2

2

∴OA=

2

∴Rt△AA₁O中，A1O=

AA12+OA2

=2（6分）
同理：OC₁=2
∵△A₁OC₁中，A₁O²+OC₁²=A₁C₁²
∴A₁O⊥OC₁（7分）
∴A₁O⊥平面BC₁D（8分）
（Ⅲ）∵A₁O⊥平面BC₁D
∴所求体积V=

1

3

•A1O•

1

2

•BD•OC1（10分）
=

1

3

•2•

1

2

•2

2

•2=

4 2

3

（12分）