Question

已知四棱锥（如图）底面是边长为2的正方形.侧棱底面，、分别为、的中点，于。
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）直线与平面所成角的正弦值为，求PA的长；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求二面角的余弦值。

Answer 1

(1)证明见解析(2)2 (3)

（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD
∴MN⊥PA  又MN⊥AD  且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD  ………………3分
MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  …………4分
（Ⅱ）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA="A  " ∴BC⊥平面PBA
∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角 
即…………7分
在Rt△PBC中，PC=BC/sin∠BPC=

∴  ………………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN
∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角  …………12分
而
∴   …………14分