Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+a+\frac{1}{2}（x＜0）}\\{{a}^{x}（x≥0）}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 f（x）在（-∞，+∞）上的减函数，故一次项的系数为负，指数式的底数在（0，1）上，且当x=0时，右侧函数值的极限小于等于1，由这些关系转化出参数的不等式，解出其范围．

解答 解：由题意是f（x）在（-∞，+∞）上的减函数
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{a+\frac{1}{2}≥1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$≤a＜1，
故实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）
故选：D．

点评 本题考查指数函数单调性的应用，解答本题关键是正确理解减函数，并由此得出参数所满足的不等式组，端点处函数值的比较是一个易漏点，解题时要注意转化的等价．