精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知:数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn2-Sn-12=3n2an,a1=2,an≠0,n=2,3,4,….
(1)设cn=an+an+1,求c1、c2,并判断数列{cn}是否为等差数列,说明理由;
(2)求数列{(-1)n+1anan+1}的前2k+1项的和T2k+1
考点:数列的求和,数列递推式
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)把已知数列递推式中的an换为an=Sn-Sn-1≠0,得Sn+Sn-1=3n2,取n=n+1后得另一递推式,作差后得到cn=an+an+1=6n+3,分别求得c1、c2
再求得c3后由c2-c1≠c3-c2判断数列{cn}不是等差数列;
(2)由(1)中的Sn+Sn-1=3n2推得数列{a2n}是首项为a2=8,公差为6的等差数列.数列{a2n-1}是首项为a3=7,公差为6的等差数列.把T2k+1=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+a5a6-…-a2ka2k+1+a2k+1a2k+2因式分解后利用等差数列的前n项和求和得答案.
解答: 解:(1)由已知Sn2-Sn-12=3n2an,得
(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n2an
∵an=Sn-Sn-1≠0,
∴Sn+Sn-1=3n2 (n≥2)①,
于是Sn+1+Sn=3(n+1)2 ②,
由②-①得an+1+an=6n+3,
即cn=an+an+1=6n+3.
∵a1=2,代入Sn2-Sn-12=3n2an,得a2=8.
c1=a1+a2=10.
由①得,S3+S2=27,即2a1+2a2+a3=27,解得a3=7.
c2=a2+a3=15.
由①得:Sn+1+Sn=3(n+1)2  ③,
③-①得:an+1+an=6n+3(n≥2).
∴cn=6n+3(n≥2).
∵c2-c1=5,c3-c2=6,c2-c1≠c3-c2
∴数列{cn}不是等差数列;
(2)由an+1+an=6n+3(n≥2).
得an+2+an+1=6n+9(n≥2).
两式作差得:an+2-an=6(n≥2).
∴数列{a2n}是首项为a2=8,公差为6的等差数列.
数列{a2n-1}是首项为a3=7,公差为6的等差数列.
∴T2k+1=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+a5a6-…-a2ka2k+1+a2k+1a2k+2
=a1a2+(a4-a2)a3+(a6-a4)a5+…+(a2k+2-a2k)a2k+1
=16+6a3+6a5+…+6a2k+1
=16+6[7k+
1
2
k(k-1)×6]

=18k2+24k+6.
点评:本题考查了数列递推式,考查了等差关系额确定,考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力,是数列部分难度较大的题目.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图图象中表示函数关系y=f(x)的有
 
(填序号)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)=loga(2-logax)在[
1
4
,4]上单调递减,则正实数a的取值范围是
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

函数f(x)=
1
2
-2x
的定义域是(  )
A、(-∞,-1]
B、(-∞,0)
C、(0,2)
D、(0,2]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

实验外国语学校积极响应“送教下乡”活动,从3位语文老师、2位英语老师,3位数学老师中各选1为组成一个教学支援小组,张老师是待选3位语文老师中的一位,杨老师是待选2位英语老师中的一位,李老师是待选3位数学老师中的一位.
(1)求“英语杨老师,数学李老师至多选中一位”的概率.
(2)求“恰好选中语文张老师、英语杨老师、数学李老师中的两位”的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

记函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
2
在(0,+∞)的值域为M,g(x)=(x+1)2+a在(-∞,+∞)的值域为N,若N⊆M,则实数a的取值范围是(  )
A、a≥
1
2
B、a≤
1
2
C、a≥
1
3
D、a≤
1
3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若关于x的方程2|x|+x2+a=0有两个不相等解,则a的取值范围为
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点p(1,-11),且在点P处的切线斜率为-12.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

等差数列{an}中,a4+a7+2a10+a13+a16=30,则其前19项和S19=
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案