Question

已知：2^x≤256且log₂x≥

1

2

．
（1）求x的取值范围；
（2）将函数f（x）=log₂（

x

2

）•log 

2

（

x

2

）的解析式整理为关于log₂x的式子；
（3）在前两问的情形下求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

2x≤256=28 log2x≥log2 2

，由此求得x的范围．
（2）利用对数的运算性质，把函数f（x）的解析式整理为关于log₂x的式子．
（3）根据f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）、x的范围为[

2

，8]，可得 log₂x∈[

1

2

，3]，再利用二次函数的性质求得函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）由已知可得

2x≤256=28 log2x≥log2 2

，解得

2

≤x≤8，故x的范围为[

2

，8]．
（2）函数f（x）=log₂（

x

2

）•log 

2

（

x

2

）=（log₂x-1）（log

2

x

-2）=（log₂x-1）（log₂x-2）．
（3）∵x的范围为[

2

，8]，
∴log₂x∈[

1

2

，3]，
再利用二次函数的性质可得，当log₂x=

3

2

时，函数f（x）取得最小值为-

1

4

；
当log₂x=3时，函数f（x）取得最大值为2．

点评：本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，二次函数的性质，属于中档题．