Question

17．给定如下命题：
①若命题p：?x≥0，x²+x≥0，则?p：?x₀＜0，x₀²+x₀＜0
②若变量x，y线性相关，其回归方程为$\widehat{y}$+x=2，则x，y正相关
③在△ABC中，BC=2，AC=3，∠B=$\frac{π}{3}$，则△ABC是锐角三角形
④将长为8的铁丝围成一个矩形框，则该矩形面积大于3的概率为$\frac{1}{2}$
⑤已知a＞b＞c＞0，且2b＞a+c，则$\frac{b}{a-b}＞\frac{c}{b-c}$
其中正确命题是③④⑤（只填序号）

Answer 1

分析 直接写出全称命题的否定判断①；由回归方程为$\widehat{y}$+x=2，即$\widehat{y}=-x+2$，可知回归系数小于0，得x，y负相关；利用余弦定理求出最大边，再求出最大边所对角的余弦值判断③；列式求出满足矩形面积大于3的矩形边长的范围，由几何概型概率公式求出矩形面积大于3的概率判断④；利用不等式的性质判断⑤．

解答 解：①若命题p：?x≥0，x²+x≥0，则?p：?x₀≥0，x₀²+x₀＜0．故①错误；
②若变量x，y线性相关，其回归方程为$\widehat{y}$+x=2，即$\widehat{y}=-x+2$，则x，y负相关．②错误；
③在△ABC中，BC=2，AC=3，∠B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos$\frac{π}{3}$，
即${3}^{2}={2}^{2}+A{B}^{2}-2×2×\frac{1}{2}AB$，解得AB=1+$\sqrt{6}$＞3，∴AB为最大边，
而cos∠C=$\frac{{3}^{2}+{2}^{2}-（1+\sqrt{6}）^{2}}{2×2×3}=\frac{6-2\sqrt{6}}{12}＞0$，则△ABC是锐角三角形．③正确；
④设矩形的一边长度为xcm，则另一边长度为（4-x）cm，因此x的取值范围是0＜x＜4，由矩形的面积S=x（4-x）＞3．
∴x²-4x+3＜0，解得1＜x＜3，
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于32cm²的概率P=$\frac{1}{2}$．④正确；
⑤已知a＞b＞c＞0，且2b＞a+c，则b-c＞a-b＞0，$\frac{1}{a-b}＞\frac{1}{b-c}＞0$，∴$\frac{b}{a-b}＞\frac{c}{b-c}$．⑤正确．
故答案为：③④⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了余弦定理在解三角形中的应用，训练了几何概型的求法，考查了基本不等式的性质，是中档题．