Question

15．（文科生做）在平面直角坐标系xOy中，已知圆${C_1}：{（x-4）^2}+{（y-5）^2}=4$和圆${C_2}：{（x+3）^2}+{（y-1）^2}=4$，
（1）若直线l₁过点A（2，0），且与圆C₁相切，求直线l₁的方程；
（2）若直线l₂过点B（4，0），且被圆C₂截得的弦长为$2\sqrt{3}$，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用点到直线的距离等于半径，求出k，即可求直线l₁的方程；
（2）根据直线和圆相交的弦长公式设出直线斜率，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．

解答 解：（1）直线x=2满足题意，
直线斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0，
∴圆心到直线的距离$\frac{|2k-5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
∴k=$\frac{21}{20}$，
∴直线方程为y=$\frac{21}{20}$（x-2），
综上所述，直线方程为y=$\frac{21}{20}$（x-2）或x=2；
（2）由题意直线l₂的斜率存在，设l₂方程为：y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
圆C₂：（x+3）²+（y-1）²=4的半径r=2，
设圆C₂的圆心到直线l₂的距离为d，
∵l被⊙C₁截得的弦长为2$\sqrt{3}$，
∴圆心（-3，1）到直线的距离d=1，
即$\frac{|-3k-1-4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
即k（24k+7）=0即k=0或k=-$\frac{7}{24}$，
∴直线l₂的方程为：y=0或7x+24y-28=0，

点评 本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式求出直线斜率是解决本题的关键．