【题目】已知函数f(x)= . (Ⅰ)求函数f(x)的定义域和值域;
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性,并证明.
【答案】解:(Ⅰ)由1﹣3x≠0得x≠0, 故函数f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞).
由f(x)= ,可得3x= >0,
求得f(x)>1,或f(x)<﹣1,
f(x)的值域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).
(Ⅱ)f(x)为奇函数,理由如下:
因为函数f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
且 ,
所以,f(x)为奇函数
【解析】(Ⅰ)由1﹣3x≠0得x≠0,求得函数f(x)的定义域,由3x= >0,求得f(x)的范围,可得f(x)的值域.(Ⅱ)因为函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足f(﹣x)=﹣f(x),可得f(x)为奇函数.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数的定义域及其求法和函数的值域的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零;求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的.
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【题目】有下列四个说法:
①若函数f(x)=asinx+cosx(x∈R)的图象关于直线x= 对称,则a= ;
②已知向量 =(1,2), =(﹣2,m),若 与 的夹角为钝角,则m<1;
③当 <α< 时,函数f(x)=sinx﹣logax有三个零点;
④函数f(x)=xsinx在[﹣ ,0]上单调递减,在[0, ]上单调递增.
其中正确的是(填上所有正确说法的序号)
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【题目】为了培养学生的安全意识,某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动,共有800 名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为100 分)进行统计,得到如下的频率分布表,请你根据频率分布表解答下列问题:
序号 | 分组 | 组中值 | 频数 | 频率 |
1 | [60,70) | 65 | ① | 0.10 |
2 | [70,80) | 75 | 20 | ② |
3 | [80,90) | 85 | ③ | 0.20 |
4 | [90,100) | 95 | ④ | ⑤ |
合计 | 50 | 1 |
(1)求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值;
(2)为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识,成绩不低于85分的学生能获奖,请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖?
(3)在上述统计数据的分析中,有一项指标计算的程序框图如图所示,则该程序的功能是什么?求输出的S的值.
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【题目】(12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中点.
(1)证明:直线 平面PAB
(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ,求二面角M-AB-D的余弦值
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【题目】(12分)
在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx–2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
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【题目】已知函数f(x)= cosx(sinx+cosx). (Ⅰ)若0<α< ,且sinα= ,求f(α)的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,所有棱长均为2,O是底面正方形ABCD中心,E为PC中点,则直线OE与直线PD所成角为( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
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【题目】北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入 万作为技改费用,投入(50+2x)万元作为宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
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