Question

具有相同定义域D的函数和，，若对任意的，都有，则称和在D上是“密切函数”.给出定义域均为的四组函数：、
①
②
③
④
其中,函数与在D上为“密切函数”的是_______.

Answer 1

①④

试题分析：①f（x）=x²-x+1，g（x）=3x-2
设h（x）=f（x）-g（x）=x²-4x+3
h（x）在[1，2]上单调减，在[2，3]上单调增
∴h（x）的最大值为0，最小值为-1
∴对任意的x∈[1，3]，都有|f（x）-g（x）|≤1，符合定义
②f（x）=x³+x，g（x）=3x²+x-1
设h（x）=f（x）-g（x）=x³+3x²+1
h′（x）=3x²+6x，x∈[1，3]，h′（x）＞0
h（x）在[1，3]上单调增
∴h（x）的最大值为55，最小值为5，
∴对任意的x∈[1，3]，|f（x）-g（x）|≤1不成立，不符合定义
③f（x）=log₂（x+1），g（x）=3-x
设h（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）+x-3
h（x）在[1，3]上单调增
∴h（x）的最大值为2，最小值为-1，
∴对任意的x∈[1，3]，|f（x）-g（x）|≤1不成立，不符合定义
④，
设h（x）=f（x）-g（x）=-（）=
∵x∈[1，3]，∴
∴对任意的x∈[1，3]，都有|f（x）-g（x）|≤1，符合定义
故答案为：①④
点评：解决该试题的关键是对照新定义，构造新函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数的方法确定函数的单调性，从而确定函数的值域，利用若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”，即可得到结论