Question

已知点P（2，0）及圆C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）若圆C与圆x²+y²+2x-2y+m=0外切，求m的值；
（2）设过点P的直线l₁与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程．

Answer 1

分析：（1）此两圆相外切?圆心距|CE|=R+r，即可解出；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．①当直线l₁的斜率存在时，设直线l₁的方程为y=k（x-2）．由圆C：x²+y²-6x+4y+4=0，圆心C（3，-2），半径R=3．设圆心C到直线l₁的距离d．|MN|=4，利用勾股定理可得d2+(

|MN|

2

)2=R2，即可解得k．与圆的方程联立即可得到根与系数的关系，利用中点坐标公式可得弦MN的中点，进而得出要求的圆的方程．②当直线l₁的斜率不存在时，弦长=2

R2-12

=4

2

不符合题意，应舍去．

解答：解：（1）圆C：x²+y²-6x+4y+4=0，化为（x-3）²+（y+2）²=9，圆心C（3，-2），半径R=3．
圆Ex²+y²+2x-2y+m=0化为（x+1）²+（y-1）²=2-m，圆心E（-1，1），半径r=

2-m

．
∵此两圆相外切，∴|CE|=R+r，
∴

(-1-3)2+(1+2)2

=3+

2-m

，化为

2-m

=2，解得m=-2．
∴m的值为-2．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
①当直线l₁的斜率存在时，设直线l₁的方程为y=k（x-2）．
由圆C：x²+y²-6x+4y+4=0，圆心C（3，-2），半径R=3．
∴圆心C到直线l₁的距离d=

|3k+2-2k|

k2+1

．
∵|MN|=4，∴d2+(

|MN|

2

)2=R2，
∴(

k+2

k2+1

)2+22=32，解得k=

1

2

．
联立

y= 1 2 (x-2) x2+y2-6x+4y+4=0

，化为5x²-20x+4=0，
∴x₁+x₂=4，∴

x1+x2

2

=2．
∴

y1+y2

2

=

1

2

(2-2)=0，∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-2）²+y²=4．
②当直线l₁的斜率不存在时，弦长=2

R2-12

=4

2

不符合题意，应舍去．
故以线段MN为直径的圆的方程为（x-2）²+y²=4．

点评：本题中考查了两圆项外切的性质、直线与圆相交的位置关系、弦长公式、勾股定理、圆的标准方程、中点坐标公式、分类讨论等多个基础知识与基本技能方法，属于难题．