Question

若直线ax+by-3=0与圆x²+y²+4x-1=0切于点P（-1，2），则ab的积为

 

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，根据切线垂直于过切点的直径，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，所以由圆心和P的坐标求出过这两点直线方程的斜率，根据已知直线的方程表示出斜率，两者相乘等于-1列出a与b的方程，记作①，又因为P在直线上，把P的坐标代入已知直线的方程，得到关于a与b的又一方程，记作②，两个方程联立即可求出a与b的值，求出ab即可．

解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）²+y²=5，则圆心坐标为（-2，0），
则过圆心与P直线的斜率k=

2-0

-1+2

=2，而直线ax+by-3=0的斜率为-

a

b

，
所以2•（-

a

b

）=-1，化简得：2a=b①，
又把P点坐标代入ax+by-3=0得：-a+2b-3=0②，
把①代入②解得a=1，把a=1代入①解得b=2，
则ab=2．
故答案为：2

点评：此题考查学生掌握圆的切线垂直于过切点的直径，掌握两直线垂直时斜率的乘积为-1，会把圆的方程化为标准式方程并找出圆心的坐标，进而求解．