Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，其前三项的和为15，a₄为a₁和a₁₃的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n+1-

1

2

b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据条件和等差数列的通项公式列出方程求解，再代入等差数列的通项公式化简即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得：b_n+1=

1

2

b_n+2n+1，利用待定系数法构造新的等比数列，利用等比数列的通项公式求出b_n，再由分组求和法、等差、等比数列的前n项和公式求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得：前三项的和为15，a₄为a₁和a₁₃的等比中项，
所以

a1+a2+a3=15 a42=a1•a13

，即

3a1+3d=15 (a1+3d)2=a1•(a1+12d)

，
解得a₁=3、d=2，
所以a_n=3+（n-1）•2=2n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n+1-

1

2

b_n=a_n=2n+1，则b_n+1=

1

2

b_n+2n+1，
设b_n+1+k（n+1）+p=

1

2

（b_n+kn+p），则b_n+1=

1

2

b_n-

1

2

kn-

p

2

-k，
所以

- 1 2 k=2 - p 2 -k=1

，解得

k=-4 p=6

，
则b_n+1-4（n+1）+6=

1

2

（b_n-4n+6），
又b₁=1，所以b₁-4×1+6=3，
所以数列{b_n-4n+6}是以3为首项、

1

2

为公比的等比数列，
则b_n-4n+6=3×(

1

2

)n-1，即b_n=3×(

1

2

)n-1+4n-6，
所以数列{b_n}的前n项和T_n=3（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）+4（1+2+…+n）-6n
=3×

1- 1 2n

1- 1 2

+4×

n(1+n)

2

-6n=6-

3

2n-1

+2n2-4n．

点评：本题考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，分组求和法求数列的前n项和，以及利用待定系数法构造新的等比数列来求数列的通项公式，属于中档题．