Question

在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为四边形ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任一点，则异面直线OP与MA所成的角为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：根据题意，直线OP在点O与A₁B₁确定的平面内．设点O与A₁B₁确定的平面为α，α∩AD=F且α∩BC=E，可得F、E为AD、BC的中点，由正方形的性质可得AM⊥A₁F，由A₁B₁⊥面ADD₁A₁可得A₁B₁⊥AM．因此AM⊥面A₁FEB₁，结合OP?面A₁FEB₁得AM⊥OP．由此即可得到异面直线OP与MA所成的角为90°．

解答：解：∵A₁B₁⊥面ADD₁A₁，AM?面ADD₁A₁，∴A₁B₁⊥AM．
设点O与A₁B₁确定的平面为α，α∩AD=F且α∩BC=E，则F、E为AD、BC的中点，
根据正方形的性质，可得AM⊥A₁F．
∵A₁F∩A₁B₁=A₁，A₁F、A₁B₁?平面面A₁FEB₁，∴AM⊥面A₁FEB₁，
又∵OP?面A₁FEB₁，∴AM⊥OP．
即直线OP与直线AM所成的角是90°．
故选：D

点评：本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、正方体的结构特征等知识，属于基础题．