Question

19．函数y=cos2x-2sinx的值域为[-3，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 化简并换元可化问题为y=-2（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$在t∈[-1，1]的值域，由二次函数的知识可得．

解答 解：化简可得y=1-2sin²x-2sinx，
令sinx=t，则t∈[-1，1]，
换元可得y=-2t²-2t+1=-2（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
由二次函数可知当t=-$\frac{1}{2}$时，函数取最大值$\frac{3}{2}$，
当t=1时，函数取最小值-3，
故函数的值域为[-3，$\frac{3}{2}$]
故答案为：[-3，$\frac{3}{2}$]

点评 本题考查换元法求三角函数的最值，涉及换元法和二次函数区间的最值，属基础题．