Question

如图，正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，EF与异面直线AC，A₁D都垂直相交
（1）求异面直线EF与B₁C所成的角；
（2）求证：EF⊥面B₁AC；
（3）求证：EF∥面BB₁D₁D．

Answer 1

分析：（1）由A₁D∥B₁C，而EF与异面直线AC，A₁D都垂直相交，可得EF⊥B₁C．
（2）根据EF⊥B₁C，EF⊥AC，可得EF⊥面B₁AC．
（3）先利用线面垂直的判定定理证明 BD₁⊥面B₁AC，而EF⊥面B₁AC，故BD₁∥EF，再根据BD₁?面BDD₁B₁，得 EF∥面BDD₁B₁．

解答：解：（1）正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，A₁D∥B₁C，
而EF与异面直线AC，A₁D都垂直相交，
∴EF⊥B₁C，故直线EF与B₁C所成的角为90°．
（2）∵

EF⊥B1C EF⊥AC B1C∩AC=C

，∴EF⊥面B₁AC．
（3）正方形ABCD中，AC⊥BD，而BD是BD₁在面ABCD内的射影，
 由三垂线定理可得BD₁⊥AC，同理可证BD₁⊥B₁A，
而B₁A和AC 是面AB₁C内的两条相交直线，∴BD₁⊥面B₁AC．
又EF⊥面B₁AC，∴BD₁∥EF，BD₁?面BDD₁B₁，∴EF∥面BDD₁B₁．

点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，证明线面平行、线面垂直的方法，证明BD₁⊥面B₁AC，是解题的难点．