Question

5．已知A，B为圆C：（x-m）²+（y-n）²=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|=\sqrt{13}$，则|AB|=（　　）

• A． $\sqrt{23}$
• B． $\frac{{\sqrt{23}}}{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得C到AB的距离d，再由弦长公式求得弦长|AB|的值．

解答 解：设圆C：（x-m）²+（y-n）²=9与y轴交于A，B两点，取线段AB的中点D，
则由弦的性质可得CD⊥AB，且$\overrightarrow{CD}$=$\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$，故CD的长度即为圆心C到弦AB的距离．
∴圆心C到AB的距离为d=|$\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$|=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，由于圆的半径为r=3，
故AB=2$\sqrt{9-\frac{13}{4}}$=$\sqrt{23}$，
故选：：A．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，弦长公式的应用，求出C到AB的距离d，是解题的关键，属于中档题．