Question

（2008•奉贤区模拟）我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，

x+y

2

∈D均满足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）给定两个函数：f1(x)=

1

x

(x＞0)，f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）．证明：f₁（x）∉M，f₂（x）∈M．
（3）试利用（2）的结论解决下列问题：若实数m、n满足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意中所给的定义直接判断f（3）+f（5）与2f（4）大小即可；
（2）对于函数f₁（x）∉M可通过举两个反例，说明其不符合所给的定义可取x=1，y=2，对于f₂（x）∈M可按定义规则进行证明，任取x，y∈R⁺，求出f(

x+y

2

)=loga

x+y

2

利用基本不等式，得到loga

x+y

2

≥

1

2

loga(xy)=

1

2

(logax+logay)，即可证明出结论；
（3）参照（2）的方法，利用所给的定义及基本不等式作出变化，再判断即可得出所求的最值

解答：解：（1）

f(3)+f(5)

2

≤f(

3+5

2

)，即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案写成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分）                        （4分）
（2）①对于f1(x)=

1

x

(x＞0)，取x=1，y=2，则
f1(

x+y

2

)=f1(

3

2

)=

2

3

1

2

[f2(x)+f2(y)]=

1

2

(1+

1

2

)=

3

4

所以f(

x+y

2

)＜

1

2

[f(x)+f(y)]，f₁（x）∉M．（6分）
②对于f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）任取x，y∈R⁺，则f(

x+y

2

)=loga

x+y

2

∵

x+y

2

≥

xy

，而函数f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）是增函数
∴loga

x+y

2

≥loga

xy

，即loga

x+y

2

≥

1

2

loga(xy)=

1

2

(logax+logay)
则f2(

x+y

2

)≥

1

2

[f2(x)+f2(y)]，即f₂（x）∈M．（10分）
（3）设x=2^m，y=2ⁿ，则m=log₂x，n=log₂y，且m+n=1．
由（2）知：函数g（x）=log₂x满足g(

x+y

2

)≥

1

2

[g(x)+g(y)]，
得log2

x+y

2

≥

1

2

[log2x+log2y]，即log2

1

2

≥

1

2

(m+n)，则m+n≤-2（14分）
当且仅当x=y，即2m=2n=

1

2

，即m=n=-1时，m+n有最大值为-2．（16分）

点评：本题考查不等式的综合题，考查了比较大小，基本不等式求最值的运用，对数的运算性质，解答本题关键是理解定义及基本不等式的运用规则，本题考查了理解能力及判断推理的能力，考查了转化的思想，本题综合性强，注意总结本题的做题的规律