Question

【题目】已知时，函数有极值

（1）求实数的值；

（2）若方程有3个实数根，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先求导数，根据f（1）＝-2，f′（1）＝0列出方程求出a，b；

（2）由（1）所求解析式可得f′（x），利用导数可得f（x）的单调区间及极值，根据f（x）的图象的大致形状即可求得k的范围；

（1）因为，所以f′（x）＝3ax2+b．

又因为当x＝1时，f（x）的极值为-2，所以，

解得a＝1，b＝-3．

（2）由（1）可得，f′（x）＝3x2-3＝3（x+1）（x﹣1），

令f′（x）＝0，得x＝±1，

当x＜﹣1或x＞1时f′（x）＞0，f(x)单调递增，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f(x)单调递减；

所以当x＝﹣1时f（x）取得极大值，f（﹣1），当x＝1时f（x）取得极小值，f（1），大致图像如图：

要使方程f（x）＝k有3个解，只需k．

故实数k的取值范围为（-2，2）．