Question

8．定义在R上的函数f（x），当x∈（-1，1]时，f（x）=x-x²，且对任意的x满足f（x-2）=af（x）（常数a＞0），则f（x）在（5，7]上的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{4{a}^{3}}$
• B． $\frac{{a}^{3}}{4}$
• C． -$\frac{{a}^{3}}{4}$
• D． -$\frac{1}{4{a}^{3}}$

Answer 1

分析 需要求的函数定义域是在（5，7]，所以需要平移到已知的定义域上，根据条件每次平移2个单位，所以平移3次，就变成（-1，1]，由此可求结论．

解答 解：当x∈（1，3]，（x-2）∈（-1，1]，
所以f（x）=$\frac{f（x-2）}{a}$=$\frac{1}{a}$[[（x-2）-（x-2）²]=$\frac{1}{a}$（x-2）（3-x）；
当x∈（3，5]，（x-2）∈（1，3]，
所以f（x）=$\frac{1}{{a}^{2}}$（x-2-2）（3-x+2）=$\frac{1}{{a}^{2}}$（x-4）（5-x）；
当x∈（5，7]，（x-2）∈（3，5]，
所以f（x）=$\frac{1}{{a}^{3}}$（x-6）（7-x）=$\frac{1}{{a}^{3}}$（-x²+13x-42），
∴当x=6.5时，f（x）_max=$\frac{1}{4{a}^{3}}$．
故选A．

点评 本题考查函数图象的平移变换，考查函数的最值，理解平移规律，确定函数解析式是关键．