Question

【题目】已知函数f（x）=xln（x+ （a＞0）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）求g（x）=ax2+2x+1在区间[﹣6，3]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知f（x）是偶函数，

∵a＞0，∴ ＞ =|x|≥﹣x，

所以函数f（x）定义域为R，

则有：f（1）=f（﹣1），

即ln（1+ ）=﹣ln（﹣1+ ），

∴1+ = ，

即2a+1﹣1=1，a=

（2）解：g（x）= （x+2）2﹣1，

开口向上，对称轴为x=﹣2，

∴g（x）关于x在[﹣6，﹣2]上递减，则g（﹣2）≤g（x）≤g（﹣6），

g（x） 关于x在（﹣2，3]上递增，则g（﹣2）＜g（x）≤g（3），

又g（﹣2）=﹣1，g（3）= ，g（﹣6）=7，

g（x）的值域为[﹣1， ]

【解析】（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出g（x）在值域即可．
【考点精析】利用二次函数在闭区间上的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，当时，；当时在上递减，当时，．