Question

已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）．
（1）已知P（1，1），线段l：x-y-3=0（3≤x≤5），求d（P，l）；
（2）设A（-1，0），B（1，0），求点集D={P|d（P，AB）≤1}所表示图形的面积；
（3）若M（0，1），O（0，0），N（2，0），画出集合Ω={P|d（P，MO）=d（P，NO）}所表示的图形．

Answer 1

分析：（1）根据d（P，l）的定义，结合两点间的距离公式和二次函数的性质，即可算出的值d（P，l）．
（2）d（P，AB）≤1，即Q在线段AB上时线段PQ长度的最小值不超过1，由此结合点A、B的坐标，利用距离公式即可化简出所求图形的边界曲线方程，结合矩形面积与圆面积公式可得该图形的面积；
（3）算出MO、NO的方程，利用题中P到线段l的距离的定义，建立关系式并化简整理，可得集合Ω表示的曲线方程，再根据曲线方程作出相应的图形，可得答案．

解答：解：（1）设Q（x，x-3）是线段l：x-y-3=0（3≤x≤5）上一点，则
|PQ|=

(x-1)2+(x-4)2

=

2(x- 5 2 )2+ 9 2

，（3≤x≤5）…（3分）
当x=3时，d（P，l）=|PQ|_最小值=

5

． …（4分）
（2）点集D由如下曲线围成

l₁：y=1（|x|≤1），l₂：y=-1（|x|≤1），
C₁：（x+1）²+y²=1（x≤-1），C₂：（x-1）²+y²=1（x≥1），
其面积为S=4+π． …（8分）
（3）根据题意，可得
线段MO、NO的方程分别为x=0（0≤y≤1）、y=0（0≤x≤2），
∴Ω={（x，y）|x≤0，y≤0}∪{（x，y）|y=x，0＜x≤1}∪{（x，y）|x²=2y-1，1＜x≤2}
∪{（x，y）|4x-2y-3=0，x＞2}…（12分）
其所表示的图形为右图中的阴影区域（含x，y轴负半轴）及曲线OABC．…（14分）

点评：本题给出点P到线段l的距离的定义，求实际问题中的距离并讨论相应的曲线方程．着重考查了点到直线的距离公式、二次函数的性质和曲线与方程的化简等知识，属于中档题．