Question

14．（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．
（2）求函数f（k）=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+2}}{{k}^{2}+6}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用乘1法，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$），再由基本不等式即可得到最小值；
（2）令t=$\sqrt{2+{k}^{2}}$（t≥$\sqrt{2}$），则g（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$，再由基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）由a，b＞0，且a+4b=4，
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$）
≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{4b}{a}}$）=$\frac{9}{4}$，
当且仅当a=2b=$\frac{4}{3}$时取得最小值，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$；
（2）令t=$\sqrt{2+{k}^{2}}$（t≥$\sqrt{2}$），
则g（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}$=$\frac{1}{4}$，
当且仅当t=2，即k=$±\sqrt{2}$时，取得等号，
即有f（k）的最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和换元法的运用，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．