Question

【题目】(导学号：05856288)

设函数f(x)＝aln x－x，g(x)＝aex－x，其中a为正实数．

(Ⅰ)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(2，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；

(Ⅱ)若函数f(x)与g(x)都没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) a∈(0， ) (2) a∈(，e)

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出a的范围即可；

（Ⅱ）分别求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，得到关于a的不等式组，解出即可．

试题解析：

(Ⅰ)f′(x)＝ (x>0，a>0)，

∵0<x<a时，f′(x)>0，x>a时，f′(x)<0，

∴f(x)在(0，a)上是增函数，在(a，＋∞)上是减函数，

又f(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴0<a≤1.

又g′(x)＝aex－1，∴x>ln时，g′(x)>0，x<ln时，g′(x)<0，

∴x＝ln时，g(x)最小，∴ln>2，∴0<a<，∴a∈(0，).

(Ⅱ)由(Ⅰ)知x＝a时，f(x)取得最大值，x＝ln，g(x)取得最小值，

由题意可得f(a)<0且g(ln)>0，

∴∴<a<e即a∈(，e).