已知函数,其中
,
为自然对数的底数.
(Ⅰ)设是函数
的导函数,求函数
在区间
上的最小值;
(Ⅱ)若,函数
在区间
内有零点,求
的取值范围
(Ⅰ)当时,
;当
时,
;
当时,
.(Ⅱ)
的范围为
.
解析试题分析:(Ⅰ)易得,再对分
情况确定
的单调区间,根据
在
上的单调性即可得
在
上的最小值.(Ⅱ)设
为
在区间
内的一个零点,注意到
.联系到函数的图象可知,导函数
在区间
内存在零点
,
在区间
内存在零点
,即
在区间
内至少有两个零点. 由(Ⅰ)可知,当
及
时,
在
内都不可能有两个零点.所以
.此时,
在
上单调递减,在
上单调递增,因此
,且必有
.由
得:
,代入这两个不等式即可得
的取值范围.
试题解答:(Ⅰ)
①当时,
,所以
.
②当时,由
得
.
若,则
;若
,则
.
所以当时,
在
上单调递增,所以
.
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,所以
.
当时,
在
上单调递减,所以
.
(Ⅱ)设为
在区间
内的一个零点,则由
可知,
在区间
上不可能单调递增,也不可能单调递减.
则不可能恒为正,也不可能恒为负.
故在区间
内存在零点
.
同理在区间
内存在零点
.
所以在区间
内至少有两个零点.
由(Ⅰ)知,当时,
在
上单调递增,故
在
内至多有一个零点.
当
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x2-2acos kπ·ln x(k∈N*,a∈R,且a>0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若k=2 04,关于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值.
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