Question

已知函数f(x)=2x-

a

x

，且f（1）=3
（I）求a的值；
（II）判断函数的奇偶性；
（III）判断函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

Answer 1

分析：（I）利用f（1）=3，代入解析式进行求解；
（II）先求出函数的定义域，并且判断是否关于原点对称，再验证f（x）和f（-x）的关系；
（III）先给出结论，再利用函数单调性的定义进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结论．

解答：解：（I）由f（1）=3得，2-a=3（2分）
∴a=-1（4分）
（II）由（I）得函数f(x)=2x+

1

x

，
则函数f(x)=2x+

1

x

的定义域为{x|x≠0}（5分）
∵f(-x)=2(-x)+

1

-x

=-2x-

1

x

=-(2x+

1

x

)=-f(x)（7分）
∴函数f(x)=2x+

1

x

为奇函数．（8分）
（III）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（1，+∞），不妨设x₁＜x₂，则有（9分）

f(x1)-f(x2)=2x1+ 1 x1 -(2x2+ 1 x2 ) =2(x1-x2)+( 1 x1 - 1 x2 ) =2(x1-x2)+( x2-x1 x1x2 ) =(x1-x2)(2- 1 x1x2 ) = (x1-x2)(2x1x2-1) x1x2

∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，2x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（12分）

点评：本题考查了函数奇偶性和单调性的证明，注意证明奇偶性时必须先求出函数的定义域，并且判断是否关于原点对称，函数单调性的证明必须按照定义法进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结论．