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10.二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x(0<x≤10)与销售价格y(单位:万元/辆)进行整理,得到如表的对应数据:
使用年数246810
售价16139.574.5
(1)试求y关于x的回归直线方程;(参考公式:$\hat b$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$,$\hat a$=y-$\hat b\overline x$)
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3-0.09x2-1.45x+17.2万元,根据(1)中所求的回归方程,预测x为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L(x)最大?(利润=售价-收购价)

分析 (1)由表中数据计算b,a,即可写出回归直线方程;
(2)写出利润函数L(x)=y-w,利用导数求出x=6时L(x)取得最大值.

解答 解:(1)由已知:$\overline x=6$,$\overline y=10$,…(2分)
$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=242$,$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=220$,$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}-5\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}-5{{\overline x}^2}}}=-1.45$,…(4分)
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=18.7$
所求线性回归直线方程为$\hat y=-1.45x+18.7$…(6分)
(2)L(x)=y-w=-1.45x+18.7-(0.01x3-0.09x2-1.45x+17.2)=-0.01x3+0.09x2+1.5(0<x≤10)…(8分)
L′(x)=-0.03x2+0.18x=-0.03x(x-6)…(9分)
x∈(0,6)时,L′(x)>0,L(x)单调递增,x∈(6,10]时,L′(x)<0,L(x)单调递减…(11分)
所以预测x=6时,销售一辆该型号汽车所获得的利润L(x)最大.…(12分)

点评 本题考查了回归直线方程的求法与应用问题,也考查了利用导数求最值,属于中档题.

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