Question

【题目】设函数y=f（x）图象上不同两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）处的切线的斜率分别是kA ， kB ， 规定φ（A，B）= （|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题： ①函数y=x3图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）=0；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
③设点A，B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；
④设曲线y=ex（e是自然对数的底数）上不同两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则φ（A，B）＜1．
其中真命题的序号为 ． （将所有真命题的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，

则kA=3，kB=3，则|kA﹣kB|=0，则φ（A，B）=0，故①正确；

对于②，如y=1时，y′=0，则φ（A，B）=0，故②正确；

对于③，抛物线y=x2+1的导数为y′=2x，yA=xA2+1，yB=xB2+1，

yA﹣yB=xA2﹣xB2=（xA﹣xB）（xA+xB），

则φ（A，B）= = = ≤2，故③正确；

对于④，由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）= ，

由不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）＜ =1，

故④正确．

所以答案是：①②③④

【考点精析】根据题目的已知条件，利用命题的真假判断与应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．