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【题目】设函数y=f(x)图象上不同两点A(x1 , y1),B(x2 , y2)处的切线的斜率分别是kA , kB , 规定φ(A,B)= (|AB|为线段AB的长度)叫做曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”,给出以下命题: ①函数y=x3图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1,则φ(A,B)=0;
②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
③设点A,B是抛物线y=x2+1上不同的两点,则φ(A,B)≤2;
④设曲线y=ex(e是自然对数的底数)上不同两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),则φ(A,B)<1.
其中真命题的序号为 . (将所有真命题的序号都填上)

【答案】①②③④
【解析】解:对于①,由y=x3,得y′=3x2

则kA=3,kB=3,则|kA﹣kB|=0,则φ(A,B)=0,故①正确;

对于②,如y=1时,y′=0,则φ(A,B)=0,故②正确;

对于③,抛物线y=x2+1的导数为y′=2x,yA=xA2+1,yB=xB2+1,

yA﹣yB=xA2﹣xB2=(xA﹣xB)(xA+xB),

则φ(A,B)= = = ≤2,故③正确;

对于④,由y=ex,得y′=ex,φ(A,B)=

由不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),可得φ(A,B)< =1,

故④正确.

所以答案是:①②③④

【考点精析】根据题目的已知条件,利用命题的真假判断与应用的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

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