Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}+3，}&{a＜0}\\{（3-a）x+2a，}&{x≥0}\end{array}\right.$，对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （1，2）
• C． [2，3）
• D． （$\frac{3}{2}$，3）

Answer 1

分析 根据$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$便可得出f（x）在R上为增函数，从而根据指数函数、一次函数，以及增函数的定义便可得到$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{3-a＞0}\\{{a}^{0}+3≤（3-a）•0+2a}\end{array}\right.$，解该不等式组便可得出a的取值范围．

解答 解：根据条件知f（x）在R上单调递增；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{3-a＞0}\\{{a}^{0}+3≤（3-a）•0+2a}\end{array}\right.$；
解得2≤a＜3；
∴a的取值范围为[2，3）．
故选：C．

点评 考查指数函数、一次函数的单调性，以及增函数的定义，分段函数单调性的判断．