Question

设a、b、c依次为△ABC的内角A、B、C所对的边，若

tanA•tanB

tanA+tanB

=1005tanC，且a²+b²=mc²，则m=

 

．

Answer 1

分析：同角三角函数的基本关系，正弦定理可得  c²=

abcosC

1005

，再根据 a²+b²=mc²，m=

2010(a2+b2)

a2+b2-c2

，把余弦定理代入可得m=

2010(a2+b2)

a2+b2- a2+b2 m

，解方程求出m值．

解答：解：△ABC中，∵

tanA•tanB

tanA+tanB

=1005tanC，∴

sinAsinB

sinAcosB+cosAsinB

=1005

sinC

cocC

，
∴sinAsinBcosC=1005sinC•sin（A+B）=1005sin²C，由正弦定理得
abcosC=1005c²，c²=

abcosC

1005

． 
又∵a²+b²=mc²，∴a²+b² =m•

abcosC

1005

=

mab• a2+ b2-c2 2ab

1005

=

m( a2+b2-c2)

2010

，
∴m=

2010(a2+b2)

a2+b2-c2

=

2010(a2+b2)

a2+b2- a2+b2 m

，∴2010（a²+b²）=m（a²+b²）-（ a²+b² ）．
∴m=2011，故
答案为 2011．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．