【题目】已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).
(1)当a=时,判断并证明f(x)的单调性;
(2)当a=-1时,求函数f(x)的最小值.
【答案】见解析
【解析】 (1)当a=时,f(x)==x+2+=x++2.
函数f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数,证明如下:
设x1,x2是[1,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,
则 .
因为,所以x1-x2<0,x1·x2>0,x1x2->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
所以函数f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数.
(2)当a=-1时,f(x)=x-+2.
由函数y1=x和y2=-在[1,+∞)上都是单调递增函数,结合单调性的性质,可得f(x)=x-+2在[1,+∞)上是单调递增函数.
当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=1-1+2=2,
故函数f(x)的最小值为2.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,得曲线的极坐标方程为 .
(1)化曲线的参数方程为普通方程,化曲线的极坐标方程为直角坐标方程;
(2)直线(为参数)过曲线与轴负半轴的交点,求与直线平行且与曲线相切的直线方程.
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【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1) 证明:AE⊥平面PCD;
(2) 求PB和平面PAD所成的角的大小.
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【题目】已知函数f(x)=x2+bx为偶函数,数列{an}满足an+1=2f(an-1)+1,且a1=3,an>1.
(1)设bn=log2(an-1),证明:数列{bn+1}为等比数列;
(2)设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Sn.
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【题目】已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
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【题目】为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
温差x/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y/颗 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率;
(2)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另三天的数据,求出y关于x的线性回归方程=x+;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?
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