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如图1,在平面内,ABCD是AB=2,BC=
2
的矩形,△PAB是正三角形,将△PAB沿AB折起,使PC⊥BD,如图2,E为AB的中点,设直线l过点C且垂直于矩形ABCD所在平面,点F是直线l上的一个动点,且与点P位于平面ABCD的同侧.
(1)求证:PE⊥平面ABCD;
(2)设直线PF与平面PAB所成的角为θ,若45°<θ≤60°,求线段CF长的取值范围.
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分析:(1)由题意得:BD⊥PE,PE⊥AB所以PE⊥平面ABCD.所以证明线面垂直一般是证明已知直线与平面内的两条相交直线垂直即可.
(2)建立空间直角坐标系利用向量法求出直线所在的向量与平面的法向量,结合向量的知识表示出向量的夹角,进而表示出线面角,再求出线段CF长的取值范围.
解答:解:精英家教网(1)连接EC,∵
BE
BC
=
1
2
=
2
2
=
BC
CD
,∠EBC=∠BCD=90°,
∴△EBC∽△BCD,
∴∠ECB=∠BDC.
∴BD⊥CE.
又∵PC⊥BD,PC∩CE=C,
∴BD⊥平面PEC.
∴BD⊥PE.
在正△PAB中,
∵E是AB的中点,
∴PE⊥AB.
又∵AB∩BD=B,
∴PE⊥平面ABCD.
(2)∵PE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,
∴PE∥CF.
∴CF∥平面PAB.
又∵CB⊥平面PAB.
∴点F到平面PAB的距离=点C到平面PAB的距离=
2

设CF=t.过F作FG⊥PE于G,则PF=
(
3
-t)
2
+3
sinθ=
2
(
3
-t)
2
+3

∵45°<θ≤60°,
2
2
<sinθ≤
3
2

2
2
2
(
3
-t)
2
+3
3
2

解得
3
-1≤t<
3
+1

所以线段CF长的取值范围为[
3
-1,
3
+1)
点评:解决探索性问题与求长度问题最好的方法就是向量法,将其转化为向量的基本运算,通过方程或不等式解决问题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图1,在平面内,ABCD是∠BAD=60°,且AB=a的菱形,ADD′′A1和CD D′C1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使D′′与D′重合于点D1.设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面,点E是直线l上的一个动点,且与点D1位于平面ABCD同侧(图2).
(Ⅰ) 设二面角E-AC-D1的大小为θ,若
π
4
≤θ≤
π
3
,求线段BE长的取值范围;
(Ⅱ)在线段D1E上存在点P,使平面PA1C1∥平面EAC,求
D1P
PE
与BE之间满足的关系式,并证明:当0<BE<a时,恒有
D1P
PE
<1.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图1,在平面内,ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形,ADD''A1和CDD'C1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使D''与D'重合于点D1.设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面,点E是直线l上的一个动点,且与点D1位于平面ABCD同侧,设BE=t(t>0)(图2).
(1)设二面角E-AC-D1的大小为q,若
π
4
≤θ≤
π
3
,求t的取值范围;
(2)在线段D1E上是否存在点P,使平面PA1C1∥平面EAC,若存在,求出P分
D1E
所成的比λ;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省杭州市高三第二次教学质量考试数学理卷 题型:解答题

(本题满分14分)

如图1,在平面内,ABCD是的菱形,ADD``A1和CD D`C1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使D``与D`重合于点D1 .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面,点E是直线l上的一个动点,且与点D1位于平面ABCD同侧(图2).

  

(Ⅰ) 设二面角E – AC – D1的大小为q,若£ q £ ,求线段BE长的取值范围;

(Ⅱ)在线段上存在点,使平面平面,求与BE之间满足的关系式,并证明:当0 < BE < a时,恒有< 1.

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

己知在锐角ΔABC中,角所对的边分别为,且

(I )求角大小;

(II)当时,求的取值范围.

20.如图1,在平面内,的矩形,是正三角形,将沿折起,使如图2,的中点,设直线过点且垂直于矩形所在平面,点是直线上的一个动点,且与点位于平面的同侧。

(1)求证:平面

(2)设二面角的平面角为,若,求线段长的取值范围。

 


21.已知A,B是椭圆的左,右顶点,,过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M,N,交直线于点P,且直线PA,PF,PB的斜率成等差数列,R和Q是椭圆上的两动点,R和Q的横坐标之和为2,RQ的中垂线交X轴于T点

(1)求椭圆C的方程;

(2)求三角形MNT的面积的最大值

22. 已知函数

(Ⅰ)若上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为,试求的值。

(Ⅱ)若为奇函数:

(1)是否存在实数,使得为增函数,为减函数,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;

(2)如果当时,都有恒成立,试求的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2011年浙江省杭州市高考数学二模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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(Ⅰ) 设二面角E-AC-D1的大小为θ,若≤θ≤,求线段BE长的取值范围;
(Ⅱ)在线段D1E上存在点P,使平面PA1C1∥平面EAC,求与BE之间满足的关系式,并证明:当0<BE<a时,恒有<1.

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