Question

一动圆与已知⊙O₁：(x+

2

)2+y2=1相外切，与⊙O₂：(x-

2

)2+y2=(2

3

-1)2相内切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C；
（Ⅱ）若轨迹C与直线y=kx+m （k≠0）相交于不同的两点M、N，当点A（0，-1）满足|

AM

|=|

AN

|时，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由动圆与已知⊙O₁：(x+

2

)2+y2=1相外切，可得到|MO₁|=1+R，由与⊙O₂：(x-

2

)2+y2=(2

3

-1)2相内切，可得，|MO₂|=（2

3

-1）-R，从而|MO₁|+|MO₂|=2

3

．根据椭圆的定义可得M点的轨迹是以O₁，O₂为焦点的椭圆，故可求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）直线y=kx+m与椭圆的标准方程联立，消去y得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，所以△=-12m²+36k²+12＞0⇒m²＜3k²+1．设P为MN的中点，则MN⊥AP，可得2m=3k²+1，从而可求m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件，可知：
|MO₁|=1+R，|MO₂|=（2

3

-1）-R，∴|MO₁|+|MO₂|=2

3

．
由椭圆定义知：M在以O₁，O₂为焦点的椭圆上，且a=

3

，c=

2

，b²=a²-c²=3-2=1，故动圆圆心的轨迹方程为

x2

3

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）设P为MN的中点，联立方程组

y=kx+m x2+3y2-3=0

，⇒（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0．△=-12m²+36k²+12＞0⇒m²＜3k²+1 …（1）…（6分）
又xM+xN=

-6mk

3k2+1

⇒xP=

-3mk

3k2+1

，yP=kxP+m=

m

3k2+1

⇒kAP=

m+3k2+1

-3km

由MN⊥AP⇒

m+3k2+1

-3km

=

1

k

⇒2m=3k2+1…（2）…（9分）

把(2)代入(1)得：2m＞m2⇒0＜m＜2 又由(2)得：k2= 2m-1 3 ＞0⇒m＞ 1 2

⇒

1

2

＜m＜2．故m∈(

1

2

，2)．…（12分）

点评：本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义和标准方程，得到|MO₁|+|MO₂|＞|O₁O₂|是解题的关键．考查直线与椭圆的位置关系，掌握其常规方法．