Question

如图，椭圆G的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F：x²+y²-2x=0的圆心，右顶点是圆F与x轴的一个交点．已知椭圆G与直线l：x-my-1=0相交于A、B两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积为时，求直线l的方程．

Answer 1

解：（I）设椭圆方程为，
圆F的标准方程为（x-1）²+y²=1，
圆心为F（1，0），圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
由题意a=2，半焦距c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆方程为．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴，，
∴|y₁-y₂|=
=，
S_△AOB=•|OF|•|y₁-y₂|=，
∵△AOB面积为，∴=，
∴，
整理，得27m⁴-28m²-52=0，
△=28²+4×27×52=4²×400，
∴，
∴m²=2，或（舍），∴，
∴直线l的方程为．
分析：（I）设椭圆方程为，圆F的标准方程为（x-1）²+y²=1，圆心为F（1，0），圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），由题意a=2，半焦距c=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（3m²+4）y²+6my-9=0，所以|y₁-y₂|=，故S_△AOB=•|OF|•|y₁-y₂|=，由△AOB面积为能求出直线l的方程．
点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意根的判别式、韦达定理、圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系等知识点的合理运用．