Question

7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B，并且D点在平面ABC内的射影落在AB上．
（1）证明：AD⊥平面DBC；
（2）求三棱锥D-ABC的体积；
（3）若在四面体D-ABC内有一球，当球的体积最大时，球的半径是多少？

Answer 1

分析 （1）首先由D点在平面ABC内的射影落在AB上．得到面面垂直，结合翻折中不变的直角，转换出BC与平面ABD垂直，进而得到AD与平面BCD垂直；
（2）求三棱锥体积首先找到底面积和高分别为多少，底面为直角三角形，高为D到AB边的距离；
（3）三棱锥内体积最大的球为内切球，求解球的半径时采用将三棱锥体积分割的方法计算，分割成的每一个小三棱锥的底面为原棱锥的四个表面，高为内切球的半径．

解答 （1）证明：因为D点在平面ABC内的射影落在AB上，所以平面ABC⊥平面ABD，
因为BC⊥AB，平面ABC∩平面ABD=AB，
所以BC⊥平面ABD，
所以BC⊥AD，
因为AD⊥CD，BC∩CD=C，
所以AD⊥平面DBC；
（2）解：作DH垂直于底面交AB于点H，
因为AD⊥平面DBC，所以AD⊥平面DB，
因为AD=BC=3，AB=4，所以BD=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$
利用面积相等AD×BD=AB×DH，所以DH=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$．
所以三棱锥D-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•DH$=$\frac{1}{3}×6×\frac{3\sqrt{7}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．
（3）解：当球的体积最大时，球与三棱锥D-ABC各面都相切，设球的半径为R，球心为O，则有
V_D-ABC=V_O-ABC+V_O-BCD+V_O-ACD+V_O-ABD=$\frac{1}{3}R$（S_△ABC+S_△BCD+S_△ACD+S_△ABD）
S_△ABC=S_△ACD=6，S_△ABD=S_△BCD=$\frac{1}{2}•3•\sqrt{7}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
所以$\frac{1}{3}R$（6+6+$\frac{3\sqrt{7}}{2}$+$\frac{3\sqrt{7}}{2}$）=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
所以R=$\frac{4\sqrt{7}-7}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，三棱锥D-ABC的体积，考查分割法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．