Question

12．曲线C₁上任意一点M满足|MF₁|+|MF₂|=4，其中F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）抛物线C₂的焦点是直线y=x-1与x轴的交点，顶点为原点O．
（1）求C₁，C₂的标准方程；
（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交于不同两点M，N，且满足$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得曲线C₁是以F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）为焦点，以4为实轴的椭圆，抛物线C₂的焦点是F（1，0），顶点为原点O．由此能求出求C₁，C₂的标准方程．
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，由此利用韦达定理结合向量垂直数量积为0的性质能求出直线l的方程．

解答 解：（1）∵曲线C₁上任意一点M满足|MF₁|+|MF₂|=4，其中F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
∴曲线C₁是以F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）为焦点，以4为实轴的椭圆，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，∴b²=4-3=1，
∴曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
∵抛物线C₂的焦点是直线y=x-1与x轴的交点，顶点为原点O，
∴抛物线C₂的焦点是F（1，0）
∴抛物线C₂的标准方程为：y²=4x．…（6分）
（2）假设存在存在直线直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交于不同两点M，N，且满足$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，
当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，不满足条件；
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）$=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]，
∵$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²
=$（1+{k}^{2}）•\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$-${k}^{2}•\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$+k²=0，
解得k=2或k=-2，
∴直线l满足条件，且l的方程为y=2x-2或y=-2x+2．…（13分）

点评 本题考查椭圆、抛物线的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意圆锥曲线的性质和韦达定理、向量垂直的性质的合理运用．