Question

已知a，b，c为正实数，a+b+c=1．
求证：（1）a²+b²+c²≥
（2）≤6．

Answer 1

【答案】分析：（1）证法一，作差与0比较；证法二，利用（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，再用基本不等式可证；证法三，利用基本不等式；证法四，巧设变量，设a=+α，b=+β，c=+γ，根据a+b+c=1，可得α+β+γ=0，所以a²+b²+c²=（+α）²+（+β）²+（+γ）²=+α²+β²+γ²，故可证；（2）利用基本不等式即可证明．
解答：（1）证法一：a²+b²+c²-=（3a²+3b²+3c²-1）
=[3a²+3b²+3c²-（a+b+c）²]
=[3a²+3b²+3c²-a²-b²-c²-2ab-2ac-2bc]
=[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]≥0∴a²+b²+c²≥
证法二：∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤a²+b²+c²+a²+b²+a²+c²+b²+c²
∴3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1∴a²+b²+c²≥
证法三：∵
∴a²+b²+c²≥
∴a²+b²+c²≥
证法四：设a=+α，b=+β，c=+γ．
∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0
∴a²+b²+c²=（+α）²+（+β）²+（+γ）²
=+（α+β+γ）+α²+β²+γ²
=+α²+β²+γ²≥
∴a²+b²+c²≥
（2）证法一：
同理

∴原不等式成立．
证法二：=
∴≤＜6
∴原不等式成立．
点评：本题以等式为载体，考查不等式的证明，证题时用了多种方法，注意细细体会．