Question

14．已知两圆C₁：（x-1）²+y²=9．C₂：（x+1）²+y²=1，动圆在圆C₁内部且与圆C₁相内切，与圆C₂向外切
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）已知A（-2，0），过A作斜率分别为k₁，k₂的两条直线交曲线C于D，E两点，且k₁•k₂=2，求证：直线DE过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系得CC₁+CC₂=4（定值），再根据椭圆定义得出轨迹方程；
（2）采用了“先猜后证”的方法确定直线DE所过的定点．

解答 解：（1）设动圆C的半径为r，根据几何关系，
动圆C与圆C₁内切，所以r=3-CC₁，
动圆C与圆C₂外切，所以r=CC₂-1，
所以，3-CC₁=CC₂-1，即CC₁+CC₂=4（定值），
因此，点P的轨迹为椭圆，且a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
所以，圆心C的轨迹方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（x≠-2）；
（2）因为点A（-2，0）在x轴上，根据对称性可知，直线DE所过的定点必在x轴上，
因此，可采取先猜后证的方法确定直线DE必过定点，
当点D，E两点无限接近时，直线DE趋于切线，此时k₁，k₂都趋于$\sqrt{2}$（或-$\sqrt{2}$），
故可设l_AE：y=$\sqrt{2}$（x+2），代入椭圆解得D（-$\frac{10}{11}$，$\frac{12\sqrt{2}}{11}$），
且点D处切线斜率k=-$\frac{b^2{x}_{D}}{a^2{y}_{D}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{16}$，
因此，椭圆在点D处的切线方程为：y-$\frac{12\sqrt{2}}{11}$=$\frac{5\sqrt{2}}{16}$（x+$\frac{10}{11}$），
令y=0，解得x=-$\frac{22}{5}$，由此可猜测：直线DE恒过定点P（-$\frac{22}{5}$，0），证明如下：
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），过点P的直线为：x=my-$\frac{22}{5}$，联立椭圆方程得，
25（3m²+4）y²-660my+1152=0，
所以，y₁+y₂=$\frac{660m}{25（3m^2+4）}$，y₁y₂=$\frac{1152}{25（3m^2+4）}$，
因此，k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}-\frac{12}{5}）（m{y}_{2}-\frac{12}{5}）}$
=$\frac{25{y}_{1}{y}_{2}}{25m^2{y}_{1}{y}_{2}-60m（{y}_{1}+{y}_{2}）+144}$
=$\frac{1152}{1152m^2-12×132m^2+144（3m^2+4）}$=$\frac{1152}{576}$=2（定值），符合题意，
因此，直线DE恒过定点（-$\frac{22}{5}$，0）．

点评 本题主要考查了运用椭圆的定义求轨迹方恒，以及直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．