Question

（2009年上海卷理）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。

若，是否存在，有说明理由；   

找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；

若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。

Answer 1

[解法一]（1）由，得，                 ．．．．．．2分

整理后，可得，、，为整数， 

不存在、，使等式成立。                               ．．．．．．5分

（2）若，即，                         （*）

（ⅰ）若则。 

当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。            ．．．．．．7分

（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。

综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分

【解法二】设  

则

若d=0，则  

若（常数）即，则d=0，矛盾

综上所述，有，       10分

（3）  

设.

，

.               13分

取    15分

由二项展开式可得正整数M_1、M₂，使得（4-1）^2s+2=4M₁+1,

  

故当且仅当p=3^s,sN时，命题成立. .   

说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

若p为偶数，则a_m+1+a_m+2+……+a_m+p为偶数，但3^k为奇数

故此等式不成立，所以，p一定为奇数。

当p=1时，则a_m+1=b_k,即4m+5=3^k，

而3^k=(4-1)^k

=

当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3^k成立                        1分

当p=3时，则a_m+1+a_m+2+a_m+3=b_k,即3a_m+2-b_k,  

也即3（4m+9）=3^k,所以4m+9=3^k-1,4(m+1)+5=3^k-1

由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m,  4m+9=3^k成立      2分

当p=5时，则a_m+1+a_m+2+……+a_m+5=b_k,即5a_m+3=b_k

也即5（4m+13）=3^k,而3^k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在

故不是所有奇数都成立.                                            2分