Question

已知双曲线C：

x2

4

-y2=1．
（Ⅰ）求曲线C的焦点；
（Ⅱ）求与曲线C有共同渐近线且过点（2，

5

）的双曲线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由方程可得a²=4，b²=1，进而可得c=

5

，结合焦点的位置可得其坐标；（Ⅱ）可设所求的双曲线方程为

x2

4

-y2=λ，又过点(2，

5

)，代入可得λ，即可得方程．

解答：解：（Ⅰ）∵a²=4，b²=1，∴c²=a²+b²=5，得c=

5

，
∴焦点F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)；
（Ⅱ）可设所求的双曲线方程为

x2

4

-y2=λ，又过点(2，

5

)，
得λ=

22

4

-(

5

)2=-4，
故双曲线方程为

x2

4

-y2=-4，即

y2

4

-

x2

16

=1．

点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的方程的求解，属中档题．