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    精英家教网如图所示，空间中有两个正方形ABCD和ADEF，设M、N分别是BD和AE的中点，那么以下四个命题中正确的个数是
     
    ．
    ①AD⊥MN，②MN∥面CDE，③MN∥CE，④MN、CE是异面直线
    分析：如图连接AC交BD于M，则易证AD垂直于平面CDE，NM∥CE，则根据线面垂直的定义及线面平行的判定定理，四个选项容易确定正误．
    解答：精英家教网解：
    对于①，由AD⊥DC，AD⊥DE，易证AD垂直于平面CDE，所以AD⊥CE，又MN是三角形ACE的中位线，
    故NM∥CE，所以AD⊥MN，正确；因此③正确；
    对于②MN是三角形ACE的中位线，故NM∥CE，从而可以得到MN∥面CDE，正确；
    对于④，由③正确，故错误．
    答案为 3．
    点评：本题考查直线与平面垂直的判定及性质，直线与平面平行的判定及性质，同时结合图形解决问题．
    练习册系列答案
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    如图所示，空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD和ADEF，设M、N分别是BD和AE的中点，那么

    ①AD⊥MN　　②MN∥平面CDE

    ③MN∥CE　　④MN、CE异面

    以上四个命题中正确命题的个数是

    [　　]

    A．1
    B．2
    C．3
    D．4

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    A．有无数条         B．有且只有两条      C．有且只有三条      D．不存在

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高三下学期模拟预测理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

    （Ⅰ）当时，求证：；

    （Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

    【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

    又因为,………………2分

    又，得证。

    第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

    设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

    要使，只要

    所以，即………6分

    由此可知时，存在点Q使得

    当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

    由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

    ,所以    平面PAD的法向量

    则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

    因此二面角A-PD-Q的余弦值为

    解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

    又因为,又………………3分

    (Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

    则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

    设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

    所以，即………6分

    由此可知时，存在点Q使得

    当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

    设平面POQ的法向量为

    ,所以    平面PAD的法向量

    则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

    因此二面角A-PD-Q的余弦值为

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    如图所示，空间中有两个正方形ABCD和ADEF，设M、N分别是BD和AE的中点，那么以下四个命题中正确的个数是 ________．
    ①AD⊥MN，②MN∥面CDE，③MN∥CE，④MN、CE是异面直线

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