Question

【题目】设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn ， 且a1a5=64，S5﹣S3=48．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设有正整数m，l（5＜m＜l），使得am ， 5a5 ， al成等差数列，求m，l的值；
（3）设k，m，l∈N*，k＜m＜1，对于给定的k，求三个数 5ak ， am ， al经适当排序后能构成等差数列的充要条件．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以设数列{an}的公比为q，且q＞0．

又a1a5= =64，且a3＞0，所以a3=8．

又因为S5﹣S3=48，所以a4+a5=8q2+8q=48，解得q=2，所以an=2n．

（2）因为am，5a5，al成等差数列，所以10a5=am+a1，即10×25=2m+2l．

所以5=2m﹣6+2l﹣6．

故2m﹣6，2l﹣6中有且只有一个等于1．

因为正整数m，l满足5＜m＜l，

所以 ，解得 ．

（3）设5ak，am，al经适当排序后能构成等差数列．

①若25ak=am+al，则102k=2m+2l，

当且仅当10=2m﹣k+2l﹣k，当且仅当5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1．

因为正整数k，m，l满足k＜m＜l，当且仅当l﹣k﹣1＞m﹣k﹣1≥0，且l﹣k﹣1≥1，

所以 2l﹣k﹣1＞2m﹣k﹣1≥1，2l﹣k﹣1≥2．当且仅当 即

②若2am=5ak+al，则22m=52k+2l，所以2m+1﹣k﹣2l﹣k=5（*）．

因为m+1﹣k≥2，l﹣k≥2，

所以2m+1﹣k与2l﹣k都为偶数，而5是奇数，所以，等式（*）不成立，

从而等式2am=5ak+al不成立．

③若2al=5ak+am，则同②可知，该等式也不成立．

综合①②③，得m=k+1，l=k+3．

设m=k+1，l=k+3，则5ak，am，al为5ak，ak+1，ak+3，即5ak，2ak，8ak．

调整顺序后易知2ak，5ak，8ak成等差数列．

综上所述，5ak，am，al经适当排序后能构成等差数列的充要条件为 ．

【解析】（1）由题意和等比数列的等比中项先求出，由不难得出，最终得出通项公式；
（2）由通项公式不难将其三项表示出来,再由三项成等差数列得出等式，从而中有且只有一个等于1，再由正整数满足，得出结果；
（3）设,经过排序后能构成等差数列，由，得到；由得到等式不成立，由,等式也不成立，从而,所以能构成等差数列的充要条件为