Question

11．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC为直径的球面交PD于M点．
（I）求证：面ABM⊥面PCD；
（II）求点D到平面ACM的距离．

Answer 1

分析 （I）推导出PA⊥AB，AB⊥AD，从而AB⊥PD，由∠BMD=90°，得PD⊥BM，从而PD⊥平面ABM，由此能证明平面ABM⊥平面PCD．
（II）设h为D到面ACM的距离，由V_M-ACD=V_D-ACM，能求出D到面ACM的距离．

解答 （本小题12分）
证明：（I）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，…（2分）
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，
∵以AC为直径的球面交PD于M点，底面ABCD为矩形，
∴由题意得∠BMD=90°，∴PD⊥BM，…（4分）
又∵AB∩BM=B，∴PD⊥平面ABM，
又PD?平面PCD，
∴平面ABM⊥平面PCD．…（6分）（每少一个条件扣1分）
解：（II）依题设知，AC是所作球面的直径，
则AM⊥MC．
又∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，
∴AM⊥平面PCD，AM⊥PD，
又PA=AD，则M是PD的中点，可得AM=2$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{M{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
S_△AMC=$\frac{1}{2}×AM×CM$=2$\sqrt{6}$，${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}×AD×CD$=4，…（8分）
设h为D到面ACM的距离，
则由V_M-ACD=V_D-ACM，即$\frac{1}{3}×4×2=\frac{1}{3}×2\sqrt{6}×h$，…（10分）
得h=$\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴D到面ACM的距离为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．