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14.已知函数f(x)=(2-a)x-2lnx+a-2,g(x)=xe1-x
(1)若函数f(x)在区间(0,$\frac{1}{2}$)无零点,求实数a的最小值
(2)若对任意给定的x0∈(0,e],方程f(x)=g(x0)在(0,e]上总存在两个不等的实根,求实数a的取值范围.

分析 (1)f(x)<0时不可能恒成立,所以要使函数在(0,$\frac{1}{2}$)上无零点,只需要对x∈(0,$\frac{1}{2}$)时f(x)>0恒成立,列出不等式解出a大于一个函数,利用导数得到函数的单调性,根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值;
(2)求出g′(x),根据导函数的正负得到函数的单调区间,即可求出g(x)的值域,而当a=2时不合题意;当a≠2时,求出f′(x)=0时x的值,根据x∈(0,e]列出关于a的不等式得到①,并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f(x)的单调区间,根据单调区间得到②和③,令②中不等式的坐标为一个函数,求出此函数的导函数,讨论导函数的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到此函数的最大值,即可解出②恒成立和解出③得到④,联立①和④即可解出满足题意a的取值范围.

解答 解:(1)因为f(x)<0在区间(0,$\frac{1}{2}$)上恒成立不可能,
故要使函数f(x)在(0,$\frac{1}{2}$)上无零点,
只要对任意的x∈(0,$\frac{1}{2}$),f(x)>0恒成立,即对x∈(0,$\frac{1}{2}$),a>2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立.
令l(x)=2-$\frac{2lnx}{x-1}$,x∈(0,$\frac{1}{2}$),则l(x)=$\frac{2lnx+\frac{2}{x}-2}{{(x-1)}^{2}}$,
再令m(x)=2lnx+$\frac{2}{x}$-2,x∈(0,$\frac{1}{2}$),
则m′(x)=$\frac{-2(1-x)}{{x}^{2}}$<0,故m(x)在(0,$\frac{1}{2}$)上为减函数,于是m(x)>m($\frac{1}{2}$)=2-2ln2>0,
从而,l(x)>0,于是l(x)在(0,$\frac{1}{2}$)上为增函数,所以l(x)<l($\frac{1}{2}$)=2-4ln2,
故要使a>2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立,只要a∈[2-4ln2,+∞),
综上,若函数f(x)在(0,$\frac{1}{2}$)上无零点,则a的最小值为2-4ln2;
(2)g′(x)=e1-x-xe1-x=(1-x)e1-x
当x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;
当x∈(1,e]时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e•e1-e>0,
所以,函数g(x)在(0,e]上的值域为(0,1].
当a=2时,不合题意;
当a≠2时,f′(x)=2-a-$\frac{2}{x}$=$\frac{(2-a)(x-\frac{2}{2-a})}{x}$,x∈(0,e]
当x=$\frac{2}{2-a}$时,f′(x)=0.
由题意得,f(x)在(0,e]上不单调,故0<$\frac{2}{2-a}$<e,即a<2-$\frac{2}{e}$①
此时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:

x(0,$\frac{2}{2-a}$)$\frac{2}{2-a}$  ($\frac{2}{2-a}$,e]
f′(x)-0+
f(x)最小值
又因为,当x→0时,2-a>0,f(x)→+∞,
f($\frac{2}{2-a}$)=a-2ln$\frac{2}{2-a}$,f(e)=(2-a)(e-1)-2,
所以,对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不等的实根,使得f(x)=g(x0)成立,
当且仅当a满足下列条件:$\left\{\begin{array}{l}{f(\frac{2}{2-a})≤0}\\{f(e)≥1}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a-2ln\frac{2}{2-a}≤0②}\\{(2-a)(e-1)-2≥1③}\end{array}\right.$,
令h(a)=a-2ln$\frac{2}{2-a}$,a∈(-∞,2-$\frac{2}{e}$),
则h′(a)=1-2[ln2-ln(2-a)]′=1-$\frac{2}{2-a}$=$\frac{a}{a-2}$,
令h′(a)=0,得a=0或a=2,
故当a∈(-∞,0)时,h′(a)>0,函数h(a)单调递增;
当a∈(0,2-$\frac{2}{e}$)时,h′(a)<0,函数h(a)单调递减.
所以,对任意a∈(-∞,2-$\frac{2}{e}$),有h(a)≤h(0)=0,
即②对任意a∈(-∞,2-$\frac{2}{e}$)恒成立.
由③式解得:a≤2-$\frac{3}{e-1}$.④
综合①④可知,当a∈(-∞,2-$\frac{3}{e-1}$]时,对任意给定的x0∈(0,e],
在(0,e]上总存在两个不同的两个不等的实根使f(x)=g(x0)成立.

点评 此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性,会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值,掌握不等式恒成立时所满足的条件,是一道压轴题.

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