Question

如图1，E，F，G分别是边长为2的正方形ABCD所在边的中点，沿EF将△CEF截去后，又沿EG将多边形折起，使得平面DGEF丄平面ABEG得到如图2所示的多面体．
（1）求证：FG丄平面BEF₁
（2）求二面角A-BF-E的大小；
（3）求多面体ADG-BFE的体积．

Answer 1

分析：（1）由已知中平面DGEF丄平面ABEG，我们易根据面面性质的性质得BE⊥面DGEF，进而BE⊥FG，结合EF⊥FG，及线面垂直的判定定理，即可得到FG丄平面BEF₁
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面ABF与平面BEF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-BF-E的大小；
（3）连接BD、BG将多面体ADG-BFE分割成一个四棱锥B-EFDG和一个三棱锥D-ABG，分别求出求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．

解答：证明：（1）∵面DGEF⊥面ABEG，且BE⊥GE，
∴BE⊥面DGEF，得BE⊥FG．
又∵GF²+EF²=（

2

）²+（

2

）²=4=EG²，
∴∠EFG=90°，有EF⊥FG．
而BE∩EF=E，因此FG⊥平面BEF．（4分）
解：（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，2，0），F（0，1，1），
于是，

FA

=（1，-1，-1），

FB

=（1，1，-1），

FE

=（0，1，-1）．
设相交两向量

FA

、

FB

的法向量为n₁=（x₁，y₁，z₁），
则由n₁⊥

FA

，得x₁-y₁-z₁=0；由n₁⊥

FB

，得x₁+y₁-z₁=0．
解得y₁=0，x₁=z₁，因此令n₁=（1，0，1）．
事实上，由（1）知，平面BEF的一个法向量为n₂=（0，1，1）．
所以cos＜n₁，n₂＞=

n1•n2

|n1| •|n2|

=

1×0+0×1+1×1

1+1 •  1+1

=

1

2

，两法向量所成的角为

π

3

，
从二面角A-BF-E大小为

2π

3

．（8分）
（3）连接BD、BG将多面体ADG-BFE分割成一个四棱锥B-EFDG和一个三棱锥D-ABG，
则多面体的体积V=V_B-EFDG+V_D-ABG=

1

3

•

1

2

（1+2）•1•1+

1

3

•

1

2

•2•1•1=

1

2

+

1

3

=

5

6

．（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得BE⊥FG，EF⊥FG，（2）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，（3）的关键是连接BD、BG将多面体ADG-BFE分割成一个四棱锥B-EFDG和一个三棱锥D-ABG．