Question

17．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$，且b=-2x-y，当b取得最大值时，直线2x+y+b=0被圆（x-1）²+（y-2）²=25截得的弦长为（　　）

• A． 10
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{5}$
• D． 4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由约束条件作作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出b，然后利用直线与圆的位置关系求解弦长即可．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$，作出可行域如图，
由b=-2x-y，得y=-2x-b，
由图可知，当直线y=-2x-b过B（-2，-2）时直线在y轴上截距最小，b最大为2×2+2=6，
圆（x-1）²+（y-2）²=25的圆心（1，2），半径为5，
圆心到直线2x+y+6=0的距离为：$\frac{|10|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
直线被圆（x-1）²+（y-2）²=25
截得的弦长：2$\sqrt{25-（2\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 本题考查了简单的线性规划，直线与圆的位置关系的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．