Question

已知奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（2）=0，则不等式（x-1）•f（x-1）＞0的解集是（　　）

• A、（-1，3）
• B、（-∞-1）
• C、（-∞-1）∪（3，+∞）
• D、（-1，1）∪（1，3）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先根据函数f（x）的奇偶性以及函数在区间（-∞，0）上的单调性，判断函数在区间（0，+∞）的单调性，再把不等式（x-1）f（x-1）＞0变形为两个不等式组，根据函数的单调性分情况解两个不等式组，所得解集求并集即可．

解答： 解：∵函数f（x）为奇函数且在（-∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上也单调递增，
∴（x-1）f（x-1）＞0可变形为

x-1＞0 f(x-1)＞0

①或

x-1＜0 f(x-1)＜0

②
又∵函数f（x）为奇函数且f（2）=0，∴f（-2）=-f（2）=0
∴不等式组①的解为

x-1＞0 x-1＞2

即x＞3；
不等式组②的解为

x-1＜0 x-1＜-2

，即x＜-1．
∴不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞）．
故选：C．

点评：本题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，研究此类题最好作出函数图象辅助判断．