Question

已知f(x)=

x

3x+1

，且满足：a1=1，an+1=f(an)．
（1）求证：

{ 1 an }是等差数列

（2）{bn}的前n项和Sn=2n-1，若Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…

bn

an

，求Tn．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=f（a_n），整理得

1

an+1

-

1

an

=3，进而可推断数列{

1 an

}成等差数列；
（2）根据等差数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式，然后利用b_n=

S1，         n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，从而求出

bn

an

，根据通项的特点可利用错位相消法进行求和即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

x

3x+1

，a1=1，an+1=f(an)，
∴a_n+1=f（a_n）=

an

3an+1

，
则

1

an+1

-

1

an

=3，
∴{

1 an

}是首项为1，公差为3的等差数列；
（2）由（1）得，

1 an

=3n-2，
∵{b_n}的前n项和为Sn=2n-1，
∴当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
而b₁=S₁=1，也满足上式，则b_n=2^n-1，
∴

bn

an

=

2n-1

1 3n-2

=（3n-2）2^n-1，
∴Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…

bn

an

=2⁰+4•2¹+7•2²+…+（3n-2）2^n-1，①
则2T_n=2¹+4•2²+7•2³+…+（3n-2）2ⁿ，②
①-②得：-T_n=1+3•2¹+3•2²+3•2³+…+3•2^n-1-（3n-2）2ⁿ，
∴T_n=（3n-5）2ⁿ+5．

点评：本题主要考查了数列的递推式，以及通项为等差数列与等比数列相乘的数列用错位相消法进行求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．