Question

17．数列{a_n}中，a₁=2，${a_{n+1}}={a_n}+lg（1+\frac{1}{n}）$，则a₁₀₀=4．

Answer 1

分析 由${a_{n+1}}={a_n}+lg（1+\frac{1}{n}）$可得a_n+1-a_n=lg（$\frac{n+1}{n}$），从而利用叠加法求和即可．

解答 解：∵${a_{n+1}}={a_n}+lg（1+\frac{1}{n}）$，
∴a_n+1-a_n=lg（$\frac{n+1}{n}$）；
∴a₂-a₁=lg2，（1）
a₃-a₂=lg$\frac{3}{2}$，（2）
…
a₁₀₀-a₉₉=lg$\frac{100}{99}$，（99）
（1）+（2）+…+（99）得，
a₁₀₀-a₁=lg2+lg$\frac{3}{2}$+…+lg$\frac{100}{99}$=lg100=2，
故a₁₀₀=a₁+2=2+2=4；
故答案为：4．

点评 本题考查了数列的递推公式的化简与应用，同时考查了叠加法与对数的运算应用，属于中档题．